Question

某學(xué)校為了選拔學(xué)生參加“XX市中學(xué)生知識競賽”，先在本校進(jìn)行選拔測試（滿分150分），若該校有100名學(xué)生參加選拔測試，并根據(jù)選拔測試成績作出如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估算這100名學(xué)生參加選拔測試的平均成績；
（Ⅱ）若通過學(xué)校選拔測試的學(xué)生將代表學(xué)校參加市知識競賽，知識競賽分為初賽和復(fù)賽，初賽中每人最多有5次答題機(jī)會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復(fù)賽．假設(shè)參賽者甲答對每一個題的概率都是

2

3

，求甲在初賽中答題個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：高考數(shù)學(xué)專題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用頻率分布直方圖能求出這100名測試學(xué)生的平均成績．
（Ⅱ）由題設(shè)條件求出甲答對每一道題的概率

2

3

，ξ可能取得值為3，4，5，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解析：（Ⅰ）設(shè)平均成績的估計值為

.

x

，則：

.

X

=(20×0.001+40×0.004+60×0.009+80×0.020+100×0.012+120×0.003+140×0.001)×20=80.4．
（Ⅱ）記甲在初賽中的答題個數(shù)為隨機(jī)變量ξ，這ξ的可能值為3，4，5，
P(ξ=3)=(

2

3

)3+(1-

2

3

)3=

1

3

，
P(ξ=4)=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×

2

3

+

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2×(1-

2

3

)=

10

27

，
P(ξ=5)=1-

1

3

-

10

27

=

8

27

．
則ξ的分布列為

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

所以ξ數(shù)學(xué)期望Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點(diǎn)評：本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，也培養(yǎng)了運(yùn)算能力．