【題目】已知平面直角坐標系xOy中,過點P(﹣1,﹣2)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρsinθtanθ=2a(a>0),直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N.
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;
(2)若|PM|=|MN|,求實數(shù)a的值.
【答案】
(1)解:∵直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),
∴直線l的普通方程:x﹣y﹣1=0,
∵曲線C的極坐標方程為 ρsinθtanθ=2a(a>0),
∴ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0),
∴曲線C的普通方程:y2=2ax
(2)解:∵y2=2ax;
∴x≥0,
設直線l上點M、N對應的參數(shù)分別為t1,t2,(t1>0,t2>0),
則|PM|=t1,|PN|=t2,
∵|PM|=|MN|,
∴|PM|= |PN|,
∴t2=2t1,
將 (t為參數(shù)),代入y2=2ax得
t2﹣2 (a+2)t+4(a+2)=0,
∴t1+t2=2 (a+2),
t1t2=4(a+2),
∵t2=2t1,
∴a=
【解析】(1)利用同角的平方關系以及極坐標方程和直角坐標的互化公式求解;(2)結合直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和二次方程的韋達定理,求解即可.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣2x+ex﹣ ,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.則實數(shù)a的取值范圍是 .
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【題目】海關對同時從三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測,從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示,工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件進行檢測.
地區(qū) | |||
數(shù)量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求這6件樣品中來自各地區(qū)商品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+alnx(a>0).
(Ⅰ)當a=2時,試求函數(shù)圖線過點(1,f(1))的切線方程;
(Ⅱ)當a=1時,若關于x的方程f(x)=x+b有唯一實數(shù)解,試求實數(shù)b的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1、x2(x1<x2),且不等式f(x1)≥mx2恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)上的點到右焦點F的最小距離是 ﹣1,F(xiàn)到上頂點的距離為 ,點C(m,0)是線段OF上的一個動點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點,使得( + )⊥ ,并說明理由.
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【題目】“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項社交網(wǎng)絡上發(fā)起的籌款活動,活動規(guī)定:被邀請者要么在24小時內接受挑戰(zhàn),要么選擇為慈善機構捐款(不接受挑戰(zhàn)),并且不能重復參加該活動.若被邀請者接受挑戰(zhàn),則他需在網(wǎng)絡上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內容,然后便可以邀請另外3個人參與這項活動.假設每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的,且互不影響.
(1)若某參與者接受挑戰(zhàn)后,對其他3個人發(fā)出邀請,則這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少?
(2)為了解冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀請的性別是否有關,某調查機構進行了隨機抽樣調查,調查得到如下列聯(lián)表:
接受挑戰(zhàn) | 不接受挑戰(zhàn) | 合計 | |
男性 | 45 | 15 | 60 |
女性 | 25 | 15 | 40 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀請者的性別有關”?
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】為加快新能源汽車產業(yè)發(fā)展,推進節(jié)能減排,國家對消費者購買新能源汽車給予補貼,其中對純電動乘用車補貼標準如表:
新能源汽車補貼標準 | |||
車輛類型 | 續(xù)駛里程R(公里) | ||
100≤R<180 | 180≤R<280 | <280 | |
純電動乘用車 | 2.5萬元/輛 | 4萬元/輛 | 6萬元/輛 |
某校研究性學習小組,從汽車市場上隨機選取了M輛純電動乘用車,根據(jù)其續(xù)駛里程R(單次充電后能行駛的最大里程)作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
100≤R<180 | 3 | 0.3 |
180≤R<280 | 6 | x |
R≥280 | y | z |
合計 | M | 1 |
(1)求x、y、z、M的值;
(2)若從這M輛純電動乘用車任選3輛,求選到的3輛車續(xù)駛里程都不低于180公里的概率;
(3)如果以頻率作為概率,若某家庭在某汽車銷售公司購買了2輛純電動乘用車,設該家庭獲得的補貼為X(單位:萬元),求X的分布列和數(shù)學期望值E(X).
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【題目】為響應國家“精準扶貧、精準脫貧”的號召,某貧困縣在精準推進上下實功,在在精準落實上見實效現(xiàn)從全縣扶貧對象中隨機抽取人對扶貧工作的滿意度進行調查,以莖葉圖中記錄了他們對扶貧工作滿意度的分數(shù)(滿分分)如圖所示,已知圖中的平均數(shù)與中位數(shù)相同.現(xiàn)將滿意度分為“基本滿意”(分數(shù)低于平均分)、“滿意”(分數(shù)不低于平均分且低于分)和“很滿意”(分數(shù)不低于分)三個級別.
(1)求莖葉圖中數(shù)據(jù)的平均數(shù)和的值;
(2)從“滿意”和“很滿意”的人中隨機抽取人,求至少有人是“很滿意”的概率.
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【題目】2018年2月25日第23屆冬季奧動會在韓國平昌閉幕,中國以金銀銅的成績結束本次冬奧會的征程,某校體育愛好者協(xié)會對某班進行了“本屆冬奧會中國隊表現(xiàn)”的滿意度調查(結果只有“滿意”和“不滿意”兩種),按分層抽樣從該班學生中隨機抽取了人,具體的調查結果如下表:
某班 | 滿意 | 不滿意 |
男生 | ||
女生 |
(1)若該班女生人數(shù)比男生人數(shù)多人,求該班男生人數(shù)和女生人數(shù);
(2)若從該班調查對象的女生中隨機選取人進行追蹤調查,記選中的人中“滿意”的人數(shù)為,求時對應事件的概率.
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