如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分別為CD、PB的中點．

(1)求證：EF⊥平面PAB．

(2)設(shè)AB＝BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　解：(1)∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)，

　　∴PD⊥DE．又CE＝ED，PD＝AD＝BC，

　　∴Rt△BCE≌Rt△PDE，

　　∴PE＝BE．

　　∵F為PB中點，∴EF⊥PB．

　　又∵AB⊥AD，AB⊥PD，

　　∴AB⊥平面PAD．

　　∵PA平面PAD，∴PA⊥AB．

　　∴在Rt△PAB中，PF＝AF．又PE＝BE＝EA，

　　∴△EFP≌△EFA．∴EF⊥FA．

　　∵PB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線，

　　∴EF⊥平面PAB．

　　(2)不妨設(shè)BC＝1，則AD＝PD＝1，

　　AB＝，PA＝，AC＝．

　　∴△PAB為等腰直角三角形，且PB＝2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF＝1，且AF⊥PB．

　　∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF，AF都垂直，

　　∴PB⊥平面AEF．

　　連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH⊥平面AEF．

　　∴∠GAH為AC與平面AEF所成的角．

　　由△EGC∽△BGA，可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝．

　　由△EGH∽△EBF，可知GH＝BF＝．

　　∴sin∠GAH＝＝．


提示：

　　(1)用判定定理證明．

　　(2)先作出線面角再求．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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