Question

設S是由滿足下列兩個條件的實數組成的集合：
①不含1；
②a∈S，則

1

1-a

∈S．
問：
（Ⅰ）如果2∈S，研究S中元素個數，并求出這些元素；
（Ⅱ）集合S中元素的個數能否只有一個？

Answer 1

分析：（Ⅰ）如果2∈S，根據條件進行遞推即可確定其他元素；
（Ⅱ）利用集合S中元素的個數能只有一個，得到方程

1

1-a

=a只有一解即可，考查方程解的情況．

解答：解：（Ⅰ）如果2∈S，根據條件得

1

1-2

=-1∈S，

1

1-(-1)

=

1

2

∈S，

1

1- 1 2

=2∈S，

1

1-2

=-1∈S，此時元素進行循環(huán)，所以集合中還有元素-1，

1

2

．
所以集合中的元素為-1，2，

1

2

．
（Ⅱ）若集合S中元素的個數只有一個，則方程

1

1-a

=a有解，得a²-a+1=0，但該方程無解．
故集合S中元素的個數不可能只有一個元素．

點評：本題主要考查集合元素的判斷和推導，考查學生的分析能力．