已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求
a+1
+
b+1
+
c+1
的最大值．
考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式
專題：計(jì)算題,不等式
分析：根據(jù)柯西不等式（x1y1+x2y2+x3y3）2≤（x12+x22+x32）（y12+y22+y32），將原式進(jìn)行配湊并結(jié)合已知條件a+b+c=1加以計(jì)算，即可得到
a+1
+
b+1
+
c+1
的最大值．
解答： 解：因?yàn)閍、b、c＞0，
所以（
a+1
+
b+1
+
c+1
）2=（
a+1
•1+
b+1
•1+
c+1
•1）2
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分
于是
a+1
+
b+1
+
c+1
≤2
3
，
當(dāng)且僅當(dāng)
a+1
=
b+1
=
c+1
，即a=b=c=
1
3
時(shí)，取“=”．
所以，
a+1
+
b+1
+
c+1
的最大值為2
3
…10分．
點(diǎn)評(píng)：本題給出三個(gè)正數(shù)滿足a+b+c=1，求
a+1
+
b+1
+
c+1
的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-2x-3＞0}，則集合N∩∁RA中元素的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、無數(shù)個(gè)B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=ax2+4ex-2lnx，其中a∈R，無理數(shù)e≈2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且已知f（x）存在最大值．
（1）求a的取值范圍，并求出此時(shí)的極大值點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ex-e-x-（2e+1）x，若對(duì)任意λ，μ∈R，且λ+μ＞0，恒有g(shù)（λ）+g（μ）＞a（λ+μ）成立，設(shè)此時(shí)f（x）的極大值為M，求證5＜M≤2e+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an-2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=log2an，cn=
1
bnbn+1
，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，若對(duì)n∈N*，Tn≤k（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ex-ax-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-m．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，求f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正整數(shù)m，n滿足1＜n≤m，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，F(xiàn)k為集合{1，2，3，…，m}的n元子集，且1≤i＜j≤k．
（1）若?a，b∈Fk，滿足|a-b|＞1．
（i）求證：n≤
m+1
2
； 
（ii）求滿足條件的集合Fk的個(gè)數(shù)；
（2）若Fi∩Fj中至多有一個(gè)元素，求證：k≤
m(m-1)
n(n-1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣A=
0
1
3
1-
2
3
，求點(diǎn)M（-1，1）在矩陣A-1對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)M′坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，其外接球的表面積為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案