Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2(

π

4

-x)+sin(2x+

π

3

)-1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，即可求得函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，由此可得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(

π

4

-x)+sin(2x+

π

3

)-1=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+cos(

π

2

-2x)=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

sin(2x+

π

6

)
∴函數(shù)f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴

3

sin(2x+

π

6

)∈[-

3

2

，

3

]
∴當x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．