Question

已知數(shù)列滿足：，，（其中為非零常數(shù)，）．
（1）判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列？
（2）求；
（3）當(dāng)時(shí)，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.

Answer 1

（1）數(shù)列是等比數(shù)列；（2），；（3）.

試題分析：（1）將數(shù)列的遞推式進(jìn)行變形得，從而利用定義得到數(shù)列是等比數(shù)列；（2）在（1）的基礎(chǔ)上先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，將代入數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)、以及進(jìn)行三種情況的分類討論，前兩種情況利用等差數(shù)列求和即可，在最后一種情況下利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，最后用分段的形式表示數(shù)列的前項(xiàng)和.
試題解析：（1）由，得．
令，則，．
，，（非零常數(shù)），
數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，即．
當(dāng)時(shí)，
，
滿足上式，．
（3），
當(dāng)時(shí)，．
，              ①
    ②
當(dāng)，即時(shí)，①②得：
，
即．
而當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，