Question

【題目】某經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃經(jīng)營(yíng)一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每日的銷(xiāo)售量y（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)格x（單位：元/千克，1＜x≤12）滿(mǎn)足：當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y=a（x﹣3）2+ ，（a，b為常數(shù)）；當(dāng)4＜x≤12時(shí)，y= ﹣100．已知當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為2元/千克時(shí)，每日可售出該特產(chǎn)800千克；當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3元/千克時(shí)，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）若該商品的銷(xiāo)售成本為1元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使店鋪每日銷(xiāo)售該特產(chǎn)所獲利潤(rùn)f（x）最大．（ ≈2.65）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：

x=2時(shí)y=800，∴a+b=800，

又∵x=3時(shí)y=150，∴b=300，可得a=500

∴y=

（2）解：由題意：

f（x）=y（x﹣1）= ，

當(dāng)1＜x≤4時(shí)，

f（x）=500（x﹣3）2（x﹣1）+300=500x3﹣3500x2+7500x﹣4200，

f'（x）=500（3x﹣5）（x﹣3），

∴由f′（x）＞0，得 ＜x＜3，

∴f（x）在（1， ），（3，4）上遞增，在（ ，3）上遞減，

∵f（ ）= +450＜f（4）=1800，

∴當(dāng)x=4時(shí)時(shí)有最大值，f（4）=1800

當(dāng)4＜x≤12時(shí)，

f（x）=（ ﹣100）（x﹣1）=2900﹣（100x+ ）≤2900﹣400 ≈1840，

當(dāng)且僅當(dāng)100x= ，即x=2 ≈5.3時(shí)取等號(hào)，

∴x=5.3時(shí)有最大值1840，

∵1800＜1840，

∴當(dāng)x=5.3時(shí)f（x）有最大值1840

即當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為5.3元的值，使店鋪所獲利潤(rùn)最大

【解析】（1）根據(jù)已知條件代入函數(shù)解析式得到兩個(gè)方程組即可解出未知數(shù)的值，得到函數(shù)的方程。（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，構(gòu)造了一個(gè)不改變函數(shù)增減性的函數(shù)來(lái)化簡(jiǎn)計(jì)算，在得出函數(shù)增減區(qū)間后應(yīng)注意結(jié)合定義區(qū)間來(lái)求解實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題。