Question

已知數(shù)列中，其中為數(shù)列的前項和，并且（，.

（1）設（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設數(shù)列（），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）求數(shù)列的通項公式和前項.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），.

【解析】

試題分析：（1）首先條件中如何處理，通常要歸一，即一是轉(zhuǎn)化為相鄰三項的關系；二是轉(zhuǎn)化為和之間的關系，這里是轉(zhuǎn)化為相鄰三項的關系，接下來根據(jù)等比數(shù)列的定義，易得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合（1）不難證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）有了（1）（2）的鋪墊很容易求得數(shù)列的通項公式，對照通項公式的特點：它是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘得到的，故用錯位相減法求數(shù)列的.

試題解析：（1）證明：，，兩式相減得 --3分

即，變形得

設，則有（），又，，

從而，由此可知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.

（2）證明：由（1）知

，

將代入得（）

由此可知，數(shù)列是公差為，首項的等差數(shù)列，

故（）.

（3）由（2）可知：，

兩式錯位相減：

所以

考點：數(shù)列中的遞推關系式處理及轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的使用.