Question

12．已知圓O：x²+y²=1和定點A（2，1），由圓O外一點P向圓引切線PQ，且滿足|PQ|=|PA|，若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點，則圓P半徑的最小值為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1
• B． 1
• C． 2
• D． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由題意可得：|PQ|²=|PO|²-1=a²+b²-1，又PQ=PA，可得2a+b-3=0．因為以P為圓心所作的圓P和圓O有公共點，所以圓P與圓O外切時，可使圓P的半徑最小．又因為PO=1+圓P的半徑，所以當圓P的半徑最小即為PO最小，即點O到直線2a+b-3=0的距離最小，進而解決問題．

解答 解：由題意可得：過圓O外一點P（a，b）向圓O引切線PQ，切點為Q，
所以|PQ|²=|PO|²-1=a²+b²-1．
又因為|PA|²=（a-2）²+（b-1）²，并且滿足PQ=PA，
所以整理可得2a+b-3=0．
因為以P為圓心所作的圓P和圓O有公共點，
所以兩圓相切或相交，
即圓P與圓O外切時，可使圓P的半徑最�。�
又因為PO=1+圓P的半徑，
所以當圓P的半徑最小即為PO最小，
即點O到直線2a+b-3=0的距離最小，并且距離的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
所以圓P的半徑的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1．
故選：A．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及兩點之間的距離公式．