如圖，橢圓C的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e=
2
2
，又橢圓C上的任一點到橢圓C的兩焦點的距離之和為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若平行于y軸的直線l與橢圓C相交于不同的兩點P、Q，過P、Q兩點作圓心為M的圓，使橢圓C上的其余點均在圓M外．求△PQM的面積S的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)離心率e=
2
2
，又橢圓C上的任一點到橢圓C的兩焦點的距離之和為8，求出幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)M（x0，0），N（x，y）是橢圓上任意一點，由題意，P是橢圓上任意一點到M的距離最小的點，求出|PQ|=|2y1|，表示出△PQM的面積S，即可求出S的最大值．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），則
∵離心率e=
2
2
，又橢圓C上的任一點到橢圓C的兩焦點的距離之和為8，
∴
2a=8
c
a
=
2
2
，
∴a=4，c=2
2
，
∴b=
a2-c2
=2
2
，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
8
=1；
（2）設(shè)M（x0，0），N（x，y）是橢圓上任意一點，則
|MN|2=（x-x0）2+y2=
1
2
（x-2x0）2+8-x02，x∈[-4，4]，
∴x=2x0時，|MN|2取得最小值8-x02，
由題意，P是橢圓上任意一點到M的距離最小的點，
設(shè)P（x1，y1），則x=x1時，|MN|2取得最小值，
∵x1∈[-4，4]，∴x1=2x0．
由對稱性知Q（x1，-y1），故|PQ|=|2y1|，
∴S=
1
2
|2y1||x1-x0|=
2
•
(4-x02)x02
=
2
•
-(x02-2)2+4
，
∴x0=±
2
時，△PQM的面積S的最大值為2
2
．
點評：本題考查圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查方程組的解法，考查學(xué)生的計算能力，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（α+
π
4
）=
1
2
，則sin2α=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y滿足
x≥1
x+y≤4
x-y-2≤0
，則z=2x+y的最大值是（　�。�
A、1B、5C、7D、9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點，兩焦點分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點A（2，3）在橢圓C1上，又拋物線C2：x2=2py（p＞0）通徑所在直線被橢圓C1所截得的線段長為
4
3
33

（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程；
（2）過點A的直線L與拋物線C2交于B、C兩點，拋物線C2在點B、C處的切線分別為l1、l2，且l1與l2交于點P．是否存在滿足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的點P？若存在，指出這樣的點P有幾個（不必求出點P的坐標(biāo)），若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱臺ABC-A1B1C1中，已知其上、下底面邊長分別為3cm和6cm，AA1=3cm，求此三棱臺的側(cè)面積和體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的影響很大．我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某市環(huán)保局從360天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
（1）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)，求ξ的分布列；
（2）以這15天的PM2.5日均值來估計這360天的空氣質(zhì)量情況，則其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作一個平行四邊形OAQB，記直線OQ與橢圓交于P點，且滿足
|OQ|
|OP|
=λ（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列幾個命題：
①函數(shù)f(x)=(
x
)2與g（x）=x表示的是同一個函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）的定義域為[1，2]，則函數(shù)f（x+1）的定義域為[2，3]；
③若函數(shù)f（x）的值域是[1，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域為[2，3]；
④若函數(shù)f（x）=x2+mx+1是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，0]．
其中正確的命題有
 
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義全集U的非空子集P的特征函數(shù)fp（x）=
1，x∈P
0，x∈∁UP
，這里∁UP表示集合P在全集U的補集．已知A，B均為全集U的非空子集，給出下列命題：
①若A⊆B，則對于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）；
②對于任意x∈U，都有f∁UA（x）=1-fA（x）；
③對于任意x∈U，都有fA∩B（x）=fA（x）•fB（x）；
④對于任意x∈U，都有fA∪B（x）=fA（x）+fB（x）．
則正確命題的序號為
 
．

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同步練習(xí)冊答案