Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在x軸上，半徑為4的圓C位于y軸的右側(cè)，且與y軸相切，
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓

x2

25

+

y2

b2

=1(b＞0)的離心率為

4

5

，且左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，試探究在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得△PF₁F₂為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的P點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求圓C的方程，只要求出圓心與半徑即可，而已知圓C的半徑為4，圓心在x軸上，圓C位于y軸的右側(cè)，且與y軸相切，故圓心為（4，0），從而可得圓C的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，根據(jù)橢圓方程可先求出F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)為（-4，0），（4，0），若△PF₁F₂為直角三角形，則過F₂作x軸的垂線與圓交與兩點(diǎn)，兩點(diǎn)都滿足題意，過F₁作圓的切線，兩個切點(diǎn)都滿足題意．故有4個點(diǎn)符合題意．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓心在x軸上，半徑為4的圓C位于y軸的右側(cè)，
∴可設(shè)圓的方程為（x-a）²+y²=16，（a＞0）
∵圓與y軸相切，
∴a=4，
∴圓的方程為：（x-4）²+y²=16．
（Ⅱ）∵橢圓

x2

25

+

y2

b2

=1(b＞0)的離心率為

4

5

，
∴e=

c

a

=

25-b2

5

=

4

5

，
解得：b=3
∴c=

a2-b2

=4，
∴F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
∴F₂（4，0）恰為圓心C．
①過F₂作x軸的垂線與圓交與兩點(diǎn)P₁，P₂，
則∠P₁F₂F₁=∠P₂F₂F₁=90°，
符合題意；
②過F₁作圓的切線，分別與圓切于點(diǎn)P₃，P₄，
連接CP₁，CP₂，則∠F₁P₁F₂=∠F₁P₂F₂=90°．符合題意．
綜上，圓C上存在4個點(diǎn)P，使得△PF₁F₂為直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，橢圓方程以及與橢圓相關(guān)的綜合性問題，探索性問題的解決技巧等．屬于難題．