Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA₁=4，AB=2，點E在棱CC₁上，點F是棱C₁D₁的中點；
（Ⅰ）若E是CC₁的中點，求證：EF∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求出CE的長度，使得A₁-BD-E為直二面角．

Answer 1

分析：（I）連接CD₁，由直四棱柱的性質(zhì)，可得A₁D₁BC是平行四邊形，從而CD₁∥A₁B，再用三角形中位線定理證出EF∥CD₁，所以EF∥A₁B，最后用線面平行的判定定理，可證出EF∥平面A₁BD；
（II）連接AC與BD相交于點O，連接A₁O，EO．利用線面垂直的判定與性質(zhì)可證出A₁O⊥BD、EO⊥BD，從而∠A₁OE就是二面角
A₁-BD-E的平面角．因此要使A₁-BD-E為直二面角，即∠A₁OE=90°，由平幾知識可得△A₁AO～△OCE，利用對應(yīng)線段成比例結(jié)合已知條件，可得當(dāng)CE的長度為

3

4

時，二面角A₁-BD-E為直二面角．

解答：解：（I）連接CD₁，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁且B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC
∴四邊形A₁D₁BC是平行四邊形，可得CD₁∥A₁B
∵△C₁CD₁中，EF是中位線，∴EF∥CD₁
∴EF∥A₁B-----（3分）
∵EF?面ABB₁A₁，A₁B⊆面ABB₁A₁
∴EF∥平面A₁BD；…（6分）
（II）連接AC與BD相交于點O，連接A₁O，EO
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥AA₁
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC、AA₁是平面AA₁C₁C內(nèi)的相交直線，
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵A₁O、EO⊆平面AA₁C₁C，∴A₁O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A₁OE就是二面角A₁-BD-E的平面角，
因此，要使A₁-BD-E為直二面角，即∠A₁OE=90°，可得∠A₁OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A₁OA=90°-∠EOC，結(jié)合∠A₁AO=∠OCE=90°，得△A₁AO～△OCE．
設(shè)CE=x，所以

AA1

OC

=

OA

CE

，…（*）
∵四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形，AB=2
∴AO=OC=

1

2

AC=

3

，
又因為AA₁=4，代入（*）可得

4

3

=

3

x

，解之得x=

3

4

∴當(dāng)CE的長度為

3

4

時，二面角A₁-BD-E為直二面角．…（12分）

點評：本題給出底面為菱形的直四棱柱，證明直線與平面平行并探求了平面與平面成直角的問題，著重考查了線面平行的判定和面面垂直的定義，以及二面角的平面角求法等知識，屬于中檔題．