Question

如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15

2

海里/小時，在甲船出發(fā)的同時，乙船從A島正南方向30海里處的B島出發(fā)，朝北偏東θ(tanθ=

3

4

)的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時．
（1）求2小時后，甲船的位置離B島多遠？
（2）若兩船能恰好在某點M處相遇，求乙船的速度．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）求出AC，再利用余弦定理，求出BC即可；
（2）解法一：設兩船相遇的時間為t小時，由正弦定理得

AM

sinθ

=

BM

sin135°

，即可得出結(jié)論；
解法二：由題意，∠AMB=45°-θ，由正弦定理得

AM

sinθ

=

AB

sin∠AMB

，求出AM，BM，求出兩船相遇的時間，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設2小時后甲船航行到C處，AC=15

2

×2=30

2

…（2分）
由余弦定理得BC=

AC2+AB2-2AC•ABcos135°

=30

5

即2小時后，甲船的位置離B島30

5

海里…（6分）
（2）解法一：設兩船相遇的時間為t小時
∵tanθ=

3

4

，θ為銳角，∴sinθ=

3

5

…（8分）
由正弦定理得

AM

sinθ

=

BM

sin135°

，即

15 2 •t

3 5

=

m•t

2 2

…（10分）
解得m=25，即乙船的速度為25海里/小時…（12分）
解法二：由題意，∠AMB=45°-θ
∵tanθ=

3

4

，θ為銳角
∴sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

∴sin∠AMB=sin(45°-θ)=

2

2

(cosθ-sinθ)=

2

10

…（8分）
由正弦定理得

AM

sinθ

=

AB

sin∠AMB

∴AM=90

2

同理可得BM=150…（10分）
兩船相遇的時間為t=

90 2

15 2

=6
∴m=

150

6

=25，即乙船的速度為25海里/小時…（12分）

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，屬于中檔題．