設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+
y2b2
=1(0<b<1)的左、右焦點,過F1的直線與E相交于A、B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列
(Ⅰ)求△ABF2的周長;
(Ⅱ)求|AB|的長;
(Ⅲ)若直線的斜率為1,求b的值.
分析:(Ⅰ)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+
y2
b2
=1(0<b<1)的左、右焦點,可以推出a=1,推出|AF2|+|A B|+|BF2|=4a,從而求出△ABF2的周長;
(Ⅱ)因為|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列,可得|AF2|+|BF2|=2|AB|,又|AF2|+|A B|+|BF2|=4,求出|AB|的長;
(Ⅲ)已知L的方程式為y=x+c,其中c=
1-b2
,聯(lián)立直線和橢圓的方程,設(shè)出A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達定理,求出b的值.
解答:解:(Ⅰ)因為橢圓E:x2+
y2
b2
=1(0<b<1)的左、右焦點,過F1的直線與E相交于A、B兩點,
由橢圓定義知|AF2|+|A B|+|BF2|=4a
已知a=1
∴△ABF2的周長為4…3分
(Ⅱ) 由已知|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列
∴|AF2|+|BF2|=2|AB|,又|AF2|+|A B|+|BF2|=4
故3|AB|=4,解得|AB|=
4
3
….6分
(Ⅲ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點坐標滿足方程,
y=x+c
x2+
y2
b2
=1
,化簡得,(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0,
則x1+x2=
-2c
1+b2
,x1x2=
1-2b2
1+b2
,
因為直線AB的斜率為1,所以|AB|=
2
|x2-x1|,
4
3
=
2
|x2-x1|,
8
9
=(x1+x22-4x1x2=
4(1-b2)
(1+b2)2
=
8b4
1+b2

解得b=
2
2
;…12分
點評:此題主要考查橢圓的定義及其應(yīng)用,把等差數(shù)列作為載體進行出題,考查圓錐曲線,是一種創(chuàng)新,此題是一道綜合題;
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