Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b₂=$\frac{3m}{2}$，其中m≠0．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)（用m表示）；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對于任意的正整數(shù)n，都有S_n∈[1，3]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知b₁=a₁，所以a₁=m，b₂=2a₁+a₂，求出a₁，a₂然后根據(jù)公比的定義，即可求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比．
（2）由S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，及（1）的結(jié)論，我們可以給出S_n的表達(dá)式，再由S_n∈[1，3]，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于m的不等式，解不等式，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．在解答過程中要注意對n的分類討論．

解答 解：（1）由已知b₁=a₁，所以a₁=m，b₂=2a₁+a₂，所以$2{a_1}+{a_2}=\frac{3}{2}m$，
解得${a_2}=-\frac{m}{2}$，所以數(shù)列{a_n}的公比$q=-\frac{1}{2}$．
所以${a_n}=m{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$
（2）${S_n}=\frac{{m[1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-（-\frac{1}{2}）}}=\frac{2m}{3}•[1-{（-\frac{1}{2}）^n}]$，
因?yàn)?1-{（-\frac{1}{2}）^n}＞0$，所以，由S_n∈[1，3]得$\frac{1}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}≤\frac{2m}{3}≤\frac{3}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}$，
注意到，當(dāng)n為奇數(shù)時$1-{（-\frac{1}{2}）^n}∈（1，\frac{3}{2}]$，當(dāng)n為偶數(shù)時$1-{（-\frac{1}{2}）^n}∈[\frac{3}{4}，1）$，
所以$1-{（-\frac{1}{2}）^n}$最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為$\frac{3}{4}$．
對于任意的正整數(shù)n都有$\frac{1}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}≤\frac{2m}{3}≤\frac{3}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}$，
所以$\frac{4}{3}≤\frac{2m}{3}≤2$，2≤m≤3．
即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．