Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-

1

x

，a∈R
（1）當(dāng)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行時(shí)，求a的值，并求此時(shí)y=f′（x）的最小值；
（2）若g（x）=xf（x），其方程g′（x）=0有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，可得f′（1）=a=0，再求y=f′（x）的最小值；
（2）g′（x）=2ax-lnx-2=0有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于2a=

lnx+2

x

（x＞0），令h（x）=

lnx+2

x

（x＞0），確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax-lnx-

1

x

，
∴f′（x）=a-

1

x

+

1

x2

，
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=a=0，
∴y=f′（x）=-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，（x＞0），
∴x=2時(shí)，y=f′（x）的最小值為-

1

4

；
（2）g（x）=xf（x）=ax²-xlnx-1，則g′（x）=2ax-lnx-2=0有實(shí)數(shù)解，
∴2a=

lnx+2

x

（x＞0），
令h（x）=

lnx+2

x

（x＞0），則h′（x）=

-lnx-1

x2

，
∴（0，

1

e

）上函數(shù)單調(diào)遞增，（

1

e

，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=

1

e

時(shí)，h（x）=

lnx+2

x

取得最大值e，
∴a≤e．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．