Question

函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若對(duì)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（3）設(shè)a＞1，g(x)=x3-2a2x+a2-2a．當(dāng)b=

1

2

時(shí)，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f(x1)-g(x2)|＜

1

2

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f/(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

（x＞-1），
由題意，f′（x）≥0在（-1，+∞）內(nèi)恒成立，或f′（x）≤0在（-1，+∞）內(nèi)恒成立．
若f′（x）≥0，則2x²+2x+b≥0，即b≥-2x²-2x=-2（x+

1

2

）²+

1

2

恒成立，
顯然，-2（x+

1

2

）²+

1

2

在（-1，+∞）內(nèi)的最大值為

1

2

，所以b≥

1

2

；
f′（x）≤0，則2x²+2x+b≤0，
顯然，該不等式在（-1，+∞）內(nèi)不恒成立；
綜上，所求b的取值范圍為[

1

2

，+∞）；
（2）由題意，f（1）是函數(shù)的最小值也是極小值．
因此f′（1）=2+

b

2

=0，解得b=-4，
經(jīng)驗(yàn)證b=-4符合題意；
（3）首先研究f（x），g（x）在[0，1]上的性質(zhì)，
由（1），當(dāng)b=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）在（-1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，從從而f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
因此，f（x）在[0，1]上的最小值為f（0）=0，最大值為f（1）=1+

1

2

ln2，
g′（x）=3（x²-a²），由a＞1，知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g′（x）=3（x²-a²）＜0，
因此g（x）=x³-3a²x+a²-2a在[0，1]上單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（0）=a²-2a，g（x）_min=g（1）=1-2a²-2a，
∵a＞1，∴g（x）_min=g（1）=1-2a²-2a＜0，
①若g（x）_max=g（0）=a²-2a≥0，即a≥2時(shí)，兩函數(shù)在[0，1]上有交點(diǎn)，此時(shí)a≥2顯然滿足條件；
②若g（x）_max=g（0）=a²-2a＜0，即1＜a＜2，f（x）的圖象在上，g（x）的圖象在下，
只需f（x）min-g（x）max＜

1

2

，即f（0）-g（0）＜

1

2

，
即-（a²-2a）＜

1

2

，
解得1+

2

2

＜a＜2．
綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍（1+

2

2

，+∞）．