Question

五名師生站成一排照相留念，其中教師1人，男生2人，女生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？
（Ⅰ）教師站在四名學生中間；
（Ⅱ）兩名女生必須相鄰而站；
（Ⅲ）兩名男生互不相鄰；
（Ⅳ）教師不站中間，女生不站兩邊．

Answer 1

解：（I）教師站在四名學生中間，
只要把學生在四個位置進行全排列即可
共有A₄⁴=24種結(jié)果
（II）∵兩個女生必須相鄰而站；
∴把兩個女生看做一個元素，
則共有4個元素進行全排列，還有女生內(nèi)部的一個排列共有A₄⁴A₂²=48．
（III）∵2名男生互不相鄰；
∴應(yīng)用插空法，
要老師和女生先排列，形成四個空再排男生共有A₃³A₄²=72．
（Ⅳ）當老師站兩邊時共有2A₃²A₂²=24種結(jié)果，
當老師不站兩邊時，老師有2種站法，女生有2個位置，余下的個人在2個位置進行排列共有2A₂²A₂²=8
根據(jù)分類計數(shù)原理知共有24+8=32．
分析：（I）教師站在四名學生中間，只要把學生在四個位置進行全排列即可
（II）兩個女生必須相鄰而站；把兩個女生看做一個元素，則共有4個元素進行全排列，還有女生內(nèi)部的一個排列．
（III）2名男生互不相鄰，應(yīng)用插空法，要老師和女生先排列，形成四個空再排男生．
（Ⅳ）當老師站兩邊時其余4個位置可以現(xiàn)在邊上排列一個男生其余進行全排列，當老師不站兩邊時，老師有2種站法，女生有2種結(jié)果，余下的2個人在排列．根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．
點評：站隊問題是排列組合中的典型問題，解題時，要先排限制條件多的元素，把排列問題包含在實際問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實質(zhì)，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，解出結(jié)果以后再還原為實際問題．