解:(Ⅰ)∵a
n+1=2S
n+1,∴當n≥2時,a
n=2S
n-1+1,
兩式相減,整理可得a
n+1=3a
n,
又a
1=1,a
2=2S
1+1=3=3a
1,
所以{a
n}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列.
故a
n=3
n-1.
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{b
n}的公差為d,則d>0.
由T
3=15得b
2=5.
又a
1=1,a
2=3,a
3=9,∴(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)
2,∴d=2,∴b
1=3,
∴T
n=3n+
=n
2+2n;
(III)由a
n=3
n-1,b
n=1+2n,所以a
nb
n=(1+2n)×3
n-1,
故
,
∴
兩式相減得,
=-2n•3
n,
∴
.
分析:(Ⅰ)再寫一式,兩式相減,可得{a
n}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,從而可得數(shù)列{a
n}的通項公式;
(Ⅱ)利用T
3=15又a
1+b
1,a
2+b
2,a
3+b
3成等比數(shù)列,求出數(shù)列的首項與公差,從而可求T
n;
(III)利用錯位相減法,可求數(shù)列{a
nb
n}的前n項和.
點評:本題考查數(shù)列的通項與求和,考查等比數(shù)列的判斷,正確運用數(shù)列的通項與求和公式是關(guān)鍵.