Question

已知實數(shù)列{a_n}是公比小于1的等比數(shù)列，其中a₂=4，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，求

lim

n→∞

S_n．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出公比，利用a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，a₂=4，求出首項與公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）利用等比數(shù)列的公比

1

2

，直接求出數(shù)列{a_n}的前n項和

lim

n→∞

S_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q∈R），
因為a₂=4，所以a₁q=4…①…（2分）
又a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2（a₂+1）=10，
即a₁+a₁q²=10…②…（5分）
由①②以及實數(shù)列{a_n}是公比小于1的等比數(shù)列，得a₁=8，q=

1

2

．
故an=8•(

1

2

)n-1．…（8分）
（Ⅱ）因為數(shù)列{a_n}是公比q=

1

2

．
因為q=

1

2

∈(0，1)，
所以

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

=16．…（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列的極限的求法，考查計算能力．