Question

（1）函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0（m，n＞0）上，求

1

m

+

1

n

的最小值；
（2）若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：常規(guī)題型,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）本題先由曲線過定點(diǎn)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再由已知定值求代數(shù)式的最小值；（2）先用基本不等式將和轉(zhuǎn)化為積，再利用解不等式的知識(shí)求出積的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，∴A（1，1）．
又點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，
∴m+n=1（m＞0，n＞0）．
∴

1

m

+

1

n

=（m+n）•（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

2

時(shí)，等號(hào)成立，
∴最小值為4．
（2）∵ab=a+b+3，又a，b∈（0，+∞），
∴ab≥2

ab

+3．設(shè)

ab

=t＞0，
∴t²-2t-3≥0．
∴t≥3或t≤-1（舍去）．
∴ab的取值范圍是[9，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查的是基本不等式，解題關(guān)鍵在于利用好題中的條件，（1）是定點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)和利用，（2）體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想．本題有一定的綜合性，但難度不是很大，屬于中檔題．