Question

17．設(shè)f（x）和g（x）的圖象在[a，b]上是連續(xù)不斷的，且f（a）＜g（a），f（b）＞g（b），試證明：在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）=g（x₀）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），根據(jù)題意得F（a）=f（a）-g（a）＜0，F(xiàn)（b）=f（b）-g（b）＞0，得出F（a）•F（b）＜0，命題得證．

解答 證明：構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），
因?yàn)閒（x），g（x）的圖象在[a，b]上是連續(xù)不斷的，
所以F（x）在在[a，b]上也是連續(xù)不斷的，
由于f（a）＜g（a），f（b）＞g（b），
所以，F(xiàn)（a）=f（a）-g（a）＜0，F(xiàn)（b）=f（b）-g（b）＞0，
所以，F(xiàn)（a）•F（b）＜0，
因此，在區(qū)間（a，b）內(nèi)必存在一點(diǎn)x₀使得F（x₀）=0，
即f（x₀）=g（x₀），即證．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷和證明，涉及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，以及運(yùn)用構(gòu)造法，綜合法證明問題，屬于中檔題．