Question

由計算機隨機選出大批正整數(shù)，取其最高位數(shù)字（如 35為3，110為1）的次數(shù)構(gòu)成一個分布，已知這個分布中，數(shù)字1，2，3，…，9出現(xiàn)的概率正好構(gòu)成一個首項為

1

5

的等差數(shù)列．現(xiàn)從這批正整數(shù)中任取一個，記其最高位數(shù)字為x （x=1，2，…，9）．
（1）求x的概率分布；
（2）求x的期望Ex．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出數(shù)列的公差，根據(jù)數(shù)字1，2，3，…，9出現(xiàn)的概率正好構(gòu)成一個首項為

1

5

的等差數(shù)列，和分布列中所有的概率之和是1，得到數(shù)列的方差，得到各個變量對應(yīng)的概率，寫出分布列．
（2）根據(jù)上一問的分布列求出變量的期望值．

解答：解：（1）根據(jù)題意設(shè)P（ξ=n）=a_n（n═1，2，…，9），
公差為d，
∵數(shù)字1，2，3，…，9出現(xiàn)的概率正好構(gòu)成一個首項為

1

5

的等差數(shù)列
∴

1

5

×9+

1

2

×9×8d=1，
∴d=-

1

45

，
∴P（ξ=n）=

1

5

-（n-1）

1

45

（n═1，2，…，9）
∴分布如下：

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	9 45	8 45	7 45	6 45	5 45	4 45	3 45	2 45	1 45

（2）根據(jù)第一問的分布列寫出期望
Ex=

2×(1×9+2×8+3×7+4×6)+25

45

=

11

3

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望值，考查等差數(shù)列的通項，在解題時注意分布列的性質(zhì)的應(yīng)用，正確利用方程思想解決概率問題．