已知定點A(-
3
，0)，B是圓C：(x-
3
)2+y2=16（C為圓心）上的動點，AB的垂直平分線與BC交于點E．
（1）求動點E的軌跡方程；
（2）設直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與E的軌跡交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程．
（1）由題知|EA|=|EB|
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵|AC|=2
3
＜4∴點E的軌跡是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，
∴E的軌跡方程為
x2
4
+y2=1
（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為（x0，y0）
將直線y=kx+m與
x2
4
+y2=1
聯(lián)立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0△=16（4k2+1-m2）＞0，即4k2+1＞m2①
又x0=
x1+x2
2
=
-4km
1+4k2
，y0=
y1+y2
2
=
m
1+4k2

依題意有
y0-0
x0-(-1)
=-
1
k
，
整理得3km=4k2+1②
由①②可得k2＞
1
5
，∵m＞0，∴k＞0，∴k＞
5
5

設O到直線l的距離為d，則S△OPQ=
1
2
d•|PQ|=
1
2
•
m
1+k2
•
1+k2
16(4k2+1-m2)
1+4k2

=
2
(4k2+1)(5k2-1)
9k2
=
2
9
20+
1
k2
-
1
k4

當
1
k2
=
1
2
時，△OPQ的面積取最大值1，
此時k=
2
，m=
3
2
2
，∴直線方程為y=
2
x+
3
2
2
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

2007年10月24日晚18：05，我國“嫦娥一號月球衛(wèi)星”順利升空。在第一次變軌前，它的軌道是以地球球心為一個焦點，近地點為d公里，遠地點為255d公里的橢圓，若地球半徑為32d公里，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓上點P(3
2
，4)到兩焦點的距離之和是12，則橢圓的標準方程是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

求經(jīng)過點（2，-3）且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓有一個焦點為F1（-2，0），且經(jīng)過點（0，2），求此橢圓的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

△ABC中，已知B、C的坐標分別為（-3，0）和（3，0），且△ABC的周長等于16，則頂點A的軌跡方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

巳知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為
3
2
，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點G在橢圓上，
GF1
⊥
GF2
，且△GF1F2的面積為3，則橢圓的方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知A，B，P為橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1（m，n＞0）上不同的三點，且A，B連線經(jīng)過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積kPA•kPB=-2，則該橢圓的離心率為______．

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