Question

一棟n層大樓，各層均可召集n個(gè)人開會(huì)，現(xiàn)每層指定一人到第k層開會(huì)，為使n位開會(huì)人員上下樓梯所走路程總和最短，則k應(yīng)�。ā　。�

• A．

  1

  2

  n
• B．n為奇數(shù)時(shí)，k=

  1

  2

  （n+1），n為偶數(shù)時(shí)k=

  1

  2

  n或

  1

  2

  n+1
• C．

  1

  2

  （n+1）
• D．n為奇數(shù)時(shí)，k=

  1

  2

  （n-1），n為偶數(shù)時(shí)k=

  1

  2

  n

Answer 1

分析：設(shè)每走一層樓梯的路程為a，則n位開會(huì)人員上下樓梯所走路程總和S=a（1+2+…+k-1）+0+a[1+2+…+（n-k）]，利用等差數(shù)列求和公式化簡整理，得S=a[k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)]，最后結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，討論可得正確答案．

解答：解：設(shè)每走一層樓梯的路程為a，n位開會(huì)人員上下樓梯所走路程總和為S，則
S=a（1+2+…+k-1）+0+a[1+2+…+（n-k）]
=a•

(k-1)•k

2

+a•

(n-k)•(n-k+1)

2

=a[k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)]
∵二次函數(shù)F（k）=k2-(n+1)k+

1

2

(n2+n)圖象關(guān)于直線k=

n+1

2

對稱，（k∈Z）
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，k=

n+1

2

時(shí)，S達(dá)最��；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取k=

n

2

，或k=

n

2

+1時(shí)，S達(dá)最大．
故選B

點(diǎn)評：本題以一個(gè)實(shí)際問題為例，求走樓梯的路程總和最短時(shí)相應(yīng)的k值，著重考查了等差數(shù)列的求和公式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和進(jìn)行簡單的合情推理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．