Question

已知函數(shù)g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）當a∈R時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）是否存在實數(shù)a，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先根據(jù)條件求出f（x），要討論f（x）的單調(diào)性，求導數(shù)即可，注意把導函數(shù)寫成這樣的形式：f′（x）=

(x-2)(x+a)

x

，這樣便于討論a判斷單調(diào)性．
（2）先假設存在實數(shù)a，x₁≠x₂，所以可設x₁＜x₂，由

f(x2)-f(x1)

x1-x2

能得到：f（x₂）+ax₂＜f（x₁）+ax₁，根據(jù)單調(diào)性的定義，讓函數(shù)f（x）+ax在（0，+∞）上是增函數(shù)，那就只要這個函數(shù)在（0，+∞）上的導數(shù)大于零即可．這樣來尋找a是否存在即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

(x-2)(x+a)

x

，f（x）的定義域為（0，+∞）；
①當a＞0時，f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
②當-2＜a≤0時，f（x）在（0，-a）上是增函數(shù)；在（-a，2）是減函數(shù)；在（2，+∞）上是增函數(shù)；
③當a=-2時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
④當a＜-2時，f（x）在（0，2）上是增函數(shù)；在（2，-a）上是減函數(shù)；在（-a，+∞）上是增函數(shù)． 
（2）假設存在實數(shù)a，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a恒成立，不妨設0＜x₁＜x₂，要使

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a，即f（x₂）+ax₂＜f（x₁）+ax．
令g（x）=f（x）+ax=

1

2

x2-2alnx-2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
g′(x)=x+2(a-1)-

2a

x

=

x2+2(a-1)x-2a

x

，所以只要x²+2（a-1）x-2a＞0；
令x²+2（a-1）x-2a=0，∵△=4（a²+）＞0，∴該方程有兩個不相等實根，要使g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則：

-2(a-1)+ 4(a-1)2+8a

2

=

a2+1

-(a-1)≤0，∵

a2+1

＞|a|＞a-1，所以

a2+1

-(a-1)＞0；
所以符合條件的a不存在．

點評：第一問利用求導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，是判斷函數(shù)單調(diào)性時常用方法，而要注意的是將求出的f′（x）寫成因式乘積的形式，便于討論f′（x）的符號．而第二問需注意的是，構造函數(shù)g（x）=f（x）+ax，讓函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．