Question

已知函數f(x)=的定義域為R，且f(2)＞f(1).

(1)求證：a＞0，b＜0；

(2)求證：f(x)單調遞增；

(3)若f(1)=，且f(x)在［0,1］上的最小值為，

求證：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＞.

Answer 1

解：(1)證明：∵f(x)的定義域為R，

∴方程1+a·2^bx=0無解.

若a=0，則f(x)=1，與f(2)＞f(1)矛盾，

∵a≠0，∴2^bx=-無解.

∵2^bx＞0，∴-≤0.∴a＞0.

由f(2)＞f(1),得.

∴1+a·2^2b＜1+a·2^b，即a·2^2b＜a·2^b.

∵a＞0，2^b＞0，

∴2^b＜1.∴b＜0.                                                          

(2)設x₁＜x₂，則f(x₁)-f(x₂)=，

∵x₁＜x₂，b＜0，∴bx₂＜bx₁.∴.

∴＜0.

又a＞0，∴＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).∴f(x)單調遞增.                                     

(3)∵f(x)單調遞增，

∴f(x)在［0,1］上的最小值為f(0)=.∴a=1.

又f(1)=，

∴2^b=.∴b=-2.

∴f(x)=.                              

∵1+4^x≥=2×2^x(當且僅當x=0時取等號)，

∴當x∈N時，f(x)＞1-.

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＞(1-)+(1-)+…+(1-)=n-

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