Question

14．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=$\frac{4{a}^{x}+2}{{a}^{x}+1}$+xcosx（-1≤x≤1），求函數(shù)f（x）的最大值和最小值的和．

Answer 1

分析 f（x）可化為3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，則f（x）=g（x）+3，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得g（x）在[-1，1]上關(guān)于原點對稱，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得：f（x）取到最大值M時，相對應的x下的g（x）也取最大值M'=M-3，同理f（x）有最小值m時，g（x）也取最小值m'=m-3，根據(jù)對稱性可得M'+m'=0，進而得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{4{a}^{x}+2}{{a}^{x}+1}$+xcosx（-1≤x≤1）
=3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
則f（x）=g（x）+3，
因為g（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$-xcos（-x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$-xcosx=-g（x），
且x∈[-1，1]，
所以g（x）在[-1，1]上關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)，
因為f（x）和g（x）單調(diào)性相同，
所以f（x）取到最大值M時，相對應的x下的g（x）也取最大值M-3，
同理f（x）有最小值m時，g（x）也取最小值m-3，
設(shè)g（x）最大值M'=M-3，最小值m'=m-3，
因為g（x）關(guān)于坐標原點對稱可得
所以（M-3）+（m-3）=0，
所以M+m=6．
即有函數(shù)f（x）的最大值和最小值的和為6．

點評 本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．