Question

【題目】如圖，已知平行四邊形中，，，為邊的中點，將沿直線翻折成.若為線段的中點.

（1）證明平面，并求的長；

（2）在翻折過程中，當三棱錐的體積取最大時，求平面與平面所成的二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)取的中點,連接,證明四邊形為平行四邊形即可.

(2)易得當三棱錐的體積取最大時,面面,再以為坐標原點建立空間直角坐標系,再分別求出面與面的法向量,進而求得平面與平面所成的二面角的余弦值即可.

(1) 取的中點,連接,因為為線段的中點,故為的中位線,故.又平行四邊形中,為邊的中點,故,故.故四邊形為平行四邊形,故.又平面,平面,故平面.

(2)因為為線段的中點,故,故當三棱錐的體積取最大時三棱錐的體積取最大.故此時面面.

因為,.故邊長是2的正三角形., 故,解得.故,故.故以為原點建立如圖空間直角坐標系.

則平面的一個法向量為.

,,.故,.

設平面的一個法向量為,則因為,即,

取有,.故.
設平面與平面所成的二面角為,則.

故平面與平面所成的二面角的余弦值為