Question

（本小題滿分12分）
已知函數
（1）若是定義域上的單調函數，求的取值范圍；
（2）若在定義域上有兩個極值點、，證明：

Answer 1

（1）[，＋∞)（2）

試題分析：（1）因為
所以．             
法一：若在(0，＋∞)單調遞增，則在(0，＋∞)上恒成立，
，
由于開口向上，所以上式不恒成立，矛盾。
若在(0，＋∞)單調遞減，則在(0，＋∞)上恒成立，

由于開口向上，對稱軸為，
故只須解得。
綜上，的取值范圍是[，＋∞)．
法二：令．當時，，在 (0，＋∞)單調遞減．
當時，，方程有兩個不相等的正根，
不妨設，
則當時，，
當時，，這時不是單調函數．
綜上，的取值范圍是[，＋∞)．                            
（2）由（1）知，當且僅當∈(0，)時，有極小值點和極大值點，
且＝，＝．



令，
則當時，＝－＝＜0，在(0，)單調遞減，
所以即．         
點評：導數是研究函數的單調性、極值、最值的有力工具，研究函數的性質時要注意函數的定義域.