Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

2

x

+alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值點；
（2）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x₁，x₂總有以下不等式

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f（

x1+x2

2

）成立，則函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“下凸函數(shù)”．試證當(dāng)a≤0時，f（x）為“下凸函數(shù)”．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,證明題,新定義,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出a=0時，f（x）的表達(dá)式，求導(dǎo)，得到單調(diào)區(qū)間，從而說明極值點；
（2）求f（x）的導(dǎo)數(shù)，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增等價為f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即有a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=

2

x

-2x2，運用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最大值，只要a不小于它即可；
（3）由新定義知，可化簡f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，注意運用兩數(shù)的差的平方公式和基本不等式，結(jié)合條件即可得證．

解答： （1）解：a=0時，f（x）=x²+

2

x

（x＞0）
f′（x）=2x-

2

x2

，令f′（x）=0，則x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
則x=1為f（x）的極值點．
（2）解：f′（x）=2x-

2

x2

+

a

x

（x≥1），
由f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即2x³-2+ax≥0在[1，+∞）上恒成立，即有a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=

2

x

-2x2，g′（x）=-

2

x2

-4x＜0，在[1，+∞）上恒成立，即g（x）在[1，+∞）上遞減，
則g（x）的最大值為g（1）=0，
故a的取值范圍是[0，+∞）．
（3）證明：f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=（

x1+x2

2

）²+

4

x1+x2

+aln（

x1+x2

2

）-

1

2

（x₁²+

2

x1

+x₂²+

2

x2

+alnx₁+alnx₂）
=-

1

4

（x₁-x₂）²+a（ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

）+

-(x1-x2)2

(x1+x2)x1x2

由于a≤0，x₁＞0，x₂＞0，（x₁-x₂）²≥0，

x1+x2

2

≥

x1x2

，
則a（ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

）≤0，
故f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≤0，
即由定義可知：當(dāng)a≤0時，f（x）為“下凸函數(shù)”．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用：求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，同時考查運用新定義證明問題，是一道中檔題．