Question

已知(

4	1 x

+

3	x2

)n展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為45，求：
（1）含x³的項(xiàng)；
（2）系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)列出方程求出n；
利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3求出展開式含x³的項(xiàng)．
（2）由通項(xiàng)得到項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相等，據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）由題設(shè)知C_n^n-2=45，即C_n²=45，
∴n=10.Tr+1=

C

r 10

(x-

1

4

)10-r•(x

2

3

)r=

C

r 10

x

11r-30

12

，
令

11r-30

12

=3，得r=6，
含x³的項(xiàng)為T₇=C₁₀⁶x³=C₁₀⁴x³=210x³．

（2）由通項(xiàng)知，展開式項(xiàng)的系數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)
據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
故系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即T6=

C

5 10

x

55-30

12

=252x

25

12

.

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．