Question

設函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax（a∈R）．
（1）當a=-9時，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)ϕ（x）=-xlnx的圖象有三個不同的交點，求a的取值范圍；
（3）設g（x）=|f（x）|，當a＞0時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=-9時，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3或x=-1，列表討論能求出函數(shù)f（x）的極大值．
（2）由f（x）=-xlnx，得a=-x²+3x-lnx，構造函數(shù)h（x）=-x²+3x-lnx，則h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，列表討論，能求出a的取值范圍．
（3）由f'（x）=3x²-6x+a=3（x-1）²+a-3，根據(jù)a的取值范圍分類討論，由此能求出函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）當a=-9時，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，
得x=3或x=-1，（2分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

所以當x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值為5．…（4分）
（2）由f（x）=-xlnx，得x³-3x²+ax=-xlnx，
即a=-x²+3x-lnx，…（6分）
令h（x）=-x²+3x-lnx，
則h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，
列表，得

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值 5 4 +ln2	遞增	極大值2	遞減

…（8分）
由題意知，方程a=h（x）有三個不同的根，
故a的取值范圍是(

5

4

+ln2，2)．…（10分）
（3）因為f'（x）=3x²-6x+a=3（x-1）²+a-3，
所以當a≥3時，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當0＜a＜3時，f'（x）=0的兩根為1±

1- a 3

，
且0＜1-

1- a 3

＜1＜1+

1- a 3

，
所以此時f（x）在(-∞，1-

1- a 3

)上遞增，
在(1-

1- a 3

，1+

1- a 3

)上遞減，在(1+

1- a 3

，+∞)上遞增，…（12分）
令f（x）=0，得x=0，或x²-3x+a=0（*），
當a≥

9

4

時，方程（*）無實根或有相等實根，
當0＜a＜

9

4

時，方程（*）有兩根

3

2

±

9 4 -a

，…（13分）
綜上：①當a≥3時，函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）； …（14分）
②當

9

4

 ≤ a＜3時，函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），(1-

1- a 3

，1+

1- a 3

)； （15分）
③當0＜a＜

9

4

時，函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），(1-

1- a 3

，

3

2

-

9 4 -a

)，(1+

1- a 3

，

3

2

+

9 4 -a

)．…（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想等．