Question

已知函數(shù)（a≠0，x≠0）．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-a，且F（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）若關(guān)于t（t≠0）的方程有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明：任取x₁＞x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂，證明其結(jié)果＞0即可；
（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得 ，解之可得；
（3）可得，令 m=t²，問題等價(jià)于關(guān)于m的方程 有正數(shù)解．構(gòu)造函數(shù)，只需 ，解之可得．
解答：（1）證明：任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（）-（）==  …（1分）
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（3分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)             …（5分）
（2）可得…（6分）
∴，又因?yàn)镕（-x）為奇函數(shù)，
所以 …（8分）
解得 a=1或 a=-1…（10分）
（3）由得：，令 m=t²，（m＞0）…（12分）
所以本題等價(jià)于關(guān)于m的方程 有正數(shù)解．   …（14分）
令，其對稱軸為 ，
∴F（m）在區(qū)間為增函數(shù)，
所以有 ，解得0＜a＜1…（16分）
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，涉及函數(shù)的奇偶性的判斷，屬基礎(chǔ)題．