Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：S₃=15，a₂+a₅=22．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且bn=

Sn

n+c

，求非零常數(shù)c．
（3）若（2）中的{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得

3a1+ 3×2 2 d=15 a1+d+a1+4d=22

，求出a₁，d代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a_n．
（2）代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求S_n，進(jìn)一步可得b_n，然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得2b₂=b₁+b₃，從而可求c．
（3）先由配方法導(dǎo)出2T_n-3b_n-1＞4，再由均值定理導(dǎo)出

64bn

(n+9)bn+1

≤4，由此能證明2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，S₃=15，a₂+a₅=22，
∴

3a1+ 3×2 2 d=15 a1+d+a1+4d=22

，
解得a₁=1，d=4．
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）∵a₁=1，d=4，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n，
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且bn=

Sn

n+c

，
∴2（

2×22-2

2+c

）=

2×1-1

1+c

+

2×32-3

3+c

，
整理，得2c²+c=0，
∵c是非零常數(shù)，∴解得c=-

1

2

．
（3）由（2）得bn=

2n2-n

n- 1 2

=2n，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=2（1+2+3+…+n）=（n+1）n=n²+n，
∴2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4≥4，
但由于n=1時(shí)取等號(hào)，從而等號(hào)取不到，
∴2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4＞4，

∴

64bn

(n+9)bn+1

=

64×2n

(n+9)(2n+2)

=

64n

n2+10n+9

=

64

n+ 9 n +10

≤4，n=3時(shí)取等號(hào)．
∴2Tn-3bn-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用，考查了不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意配方法和均值定理的合理運(yùn)用．