Question

【題目】設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為或．

【解析】試題（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，可得，結(jié)合，可得，從而可求得橢圓的離心率；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，可先利用及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出以線段為直徑的圓的方程（圓心坐標(biāo)和半徑），最后設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的與該圓相切的直線的方程為，由圓心到切線的距離等于半徑，列方程，解方程即可得求得直線的斜率．

（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，可得，又，則，∴橢圓的離心率．

（2）由（1）知， ，故橢圓方程為．設(shè)．由， ，有， ．由已知，有，即．又，故有①

又∵點(diǎn)在橢圓上，故②

由①和②可得．而點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，故，代入①得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)圓的圓心為，則，，進(jìn)而圓的半徑．設(shè)直線的斜率為，依題意，直線的方程為．由與圓相切，可得，即，整理得，解得．∴直線的斜率為或．