Question

4．已知映射f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$）（m≥0，n≥0）．設(shè)點(diǎn)A（2，6），B（4，4），點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，f：M→M′．當(dāng)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）；當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上從點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過的路線長(zhǎng)度為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到M（3，5），由已知得到點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
（2）求點(diǎn)M′的軌跡方程，根據(jù)范圍確定路徑的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，
∴M（3，5），由已知映射f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$）（m≥0，n≥0），
∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
（2）設(shè)M′（x，y），則M（x²，y²），線段AB方程為：x+y=8（2≤x≤4）
∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′為x²+y²=8（$\sqrt{2}$≤x≤2，2≤y≤$\sqrt{6}$），
∴路徑為一段圓弧，圓心角為15°，
∴點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過的路線長(zhǎng)度為8π×$\frac{15}{360}$=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 主要考查軌跡問題，曲線與方程的運(yùn)用，學(xué)生的靈活應(yīng)用能力與計(jì)算能力．