Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t為正常數(shù)，n=2，3，4…）．
（1）求證：{a_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}公比為f（t），作數(shù)列b_n使，試求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）

Answer 1

（1）證明：∵a₁=1，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2，n∈N^*）①
∴3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n≥3，n∈N*）②
①②兩式相減得

又n=2時(shí)，

∴a_n是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）解：∵，∴，∴
∴b_n是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₄）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=．
分析：（1）因?yàn)閍_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*），所以在3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t的基礎(chǔ)上，用n-1替換n構(gòu)造與它類(lèi)似的關(guān)系式；然后利用作差法求出a_n與a_n-1的關(guān)系式，進(jìn)而可整理為等比數(shù)列形式；但不要忘掉未含項(xiàng)的檢驗(yàn)．
（2）由（1）知{a_n}的公比f(wàn)（t），又b_n=f（），則可找到b_n與b_n-1的關(guān)系，進(jìn)而可整理為等差數(shù)列形式；則由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求b_n；代數(shù)式b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1的求值，可利用分組的方法，把它轉(zhuǎn)化到等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和公式上去，則問(wèn)題解決．
點(diǎn)評(píng)：若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*）是實(shí)現(xiàn)前n項(xiàng)和S_n向通項(xiàng)a_n轉(zhuǎn)化的橋梁與紐帶，進(jìn)而可結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)解決問(wèn)題．