Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³+mx²+nx（m、n∈R）
（Ⅰ）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若m=1，
①討論f （x）的單調(diào)性；
②設(shè)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，若過兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直線l與x軸的交點在曲線
y=f（x）上，求n的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點取得極值的條件,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值之間的故選即可求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³+mx²+nx，
∴f′（x）=x²+2mx+n，
則g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=x²+（2m-2）x+n-3，
若g（x）在x=-2處取得最小值-5，
則

- 2m-2 2 =-2 4-2(2m-2)+n-3=-5

，
解得

m=3 n=2

，
則f（x）的解析式f（x）=

1

3

x³+3x²+2x；
（Ⅱ）（i）若m=1，則f′（x）=x²+2x+n=（x+1）²+n-1，
①當(dāng)n≥1時，f′（x）≥0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
②當(dāng)n＜1時，由f′（x）=0，得x1=-1-

1-n

，x2=-1+

1-n

，
當(dāng)x∈（-∞，-1-

1-n

）或（-1+

1-n

，+∞）時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（-1-

1-n

，-1+

1-n

）時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
（ii）由題設(shè)知，x₁，x₂為方程f′（x）=0的兩個根，
故有n＜1，

x

2 1

=-2x1-n，

x

2 2

=-2x2-n
f（x₁）=

1

3

x

3 1

+

x

2 1

+nx1
=

1

3

x1(-2x1-n)+

x

2 1

+nx1
=

1

3

x

2 1

+

2

3

nx1
=

1

3

(-2x1-n)+

2

3

nx1
=

2

3

(n-1)x1-

n

3

同理，f（x₂）=

2

3

(n-1)x2-

n

3

故直線l的方程為y=

2

3

(n-1)x-

n

3

設(shè)l與x軸的交點為（x₀，0），得x₀=

n

2(n-1)

由題設(shè)知，點（x₀，0）在曲線y=f（x）上
故f（x₀）=0⇒

1

3

[

n

2(n-1)

]3+[

n

2(n-1)

]2+

n2

2(n-1)

=0，
⇒

n2

24(n-1)3

(12n2-17n+6)=0⇒n=0 或 n=

2

3

或 
n=

3

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，函數(shù)單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，運算量較大．