Question

函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，證明：.

Answer 1

（1）（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)；（iii）當(dāng)時(shí)，在是上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）詳見試題分析．

試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域，的導(dǎo)數(shù)：，再分，，三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得．同理當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得．下面再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240533311171706.png" style="vertical-align:middle;" />．
（1）當(dāng)時(shí)，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)時(shí),成立當(dāng)且僅當(dāng)在上是增函數(shù)．
（iii）當(dāng)時(shí)，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，即．又由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)時(shí)，由已知，故結(jié)論成立；
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即．當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)有，結(jié)論成立．根據(jù)（1）、（2）知對(duì)任何結(jié)論都成立．