Question

已知函數f（x）=x+

2

x-a

，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）為奇函數，求a的值；
（Ⅱ）當a=1時，判斷函數f（x）在（1，

2

]上的單調性，并用定義證明你的結論；
（Ⅲ）證明：當θ∈（0，

π

2

）時，sinθ+cosθ+

1+sinθ+cosθ

sinθcosθ

的最小值為3

2

+2．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由函數f（x）為奇函數，得f（-x）+f（x）=0，求出a的值；
（Ⅱ）a=1時，函數f（x）=x+

2

x-1

在（1，

2

]上是減函數，用定義證明即可；
（Ⅲ）構造函數，設sinθ+cosθ=t，則1＜t≤

2

，sinθ+cosθ+

1+sinθ+cosθ

sinθcosθ

=t+

2

t-1

；
由f（t）=t+

2

t-1

在區(qū)間（1，

2

]上的單調性，求出f（t）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x+

2

x-a

為奇函數，其中a∈R；
∴f（-x）+f（x）=（-x+

2

-x-a

）+（x+

2

x-a

）=0，
∴

2

x+a

=

2

x-a

，
∴a=0；
（Ⅱ）a=1時，函數f（x）=x+

2

x-1

在（1，

2

]上是減函數，
用定義證明x₁、x₂∈（1，

2

]，且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

2

x1-1

）-（x₂+

2

x2-1

）
=（x₁-x₂）[1-

2

(x1-1)(x2-1)

]，
∵1＜x₁＜x₂≤

2

，∴x₁-x₂＜0；
∴（x₁-1）（x₂-1）＜(

2

)2-1=1，
∴1-

2

(x1-1)(x2-1)

＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是減函數；
（Ⅲ）證明：設sinθ+cosθ=t，∴t=

2

sin（θ+

π

4

），
當θ∈（0，

π

2

）時，

2

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1，∴1＜t≤

2

；
∵t²=1-2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=

t2-1

2

；
∴sinθ+cosθ+

1+sinθ+cosθ

sinθcosθ

=t+

1+t

t2-1 2

=t+

2

t-1

；
又∵f（t）=t+

2

t-1

在區(qū)間（1，

2

]上是減函數，
∴當t=

2

時，f（t）取得最小值為3

2

+2．

點評：本題考查了函數的奇偶性，單調性的證明以及應用問題，解題時用定義來證明函數的單調性，應用構造函數的方法，結合函數的單調性求最值問題，是綜合題．