Question

4．為了搞好學(xué)校的工作，全校各班級一共提出了p（p∈N₊）條建議，已知有些班級提出了相同的建議，且任何兩個班級都至少有一條建議相同，但沒有兩個班提出全部相同的建議，求證該校的班級數(shù)不多于2^p-1個．

Answer 1

分析 先設(shè)他們的建議分別組成集合：A₁，A₂，A₃，…，A_m，再根據(jù)條件得出，在A₁，A₂，A₃，…，A_m中至多有A的$\frac{1}{2}$×2^p=2^p-1個子集．

解答 證明：假設(shè)該校共有m個班級，他們的建議分別組成集合：
A₁，A₂，A₃，…，A_m，
由于沒有兩個班提出全部相同的建議，
所以這些集合中沒有兩個相同的，
而任何兩個集合都有相同的元素，
因此任何一個集合都不是另外一個集合的補集．
這樣在A₁，A₂，A₃，…，A_m中至多有A（所有p條建議所組合的集合）的$\frac{1}{2}$×2^p=2^p-1個子集，
所以，m≤2^p-1，證畢．

點評 本題主要考查了與集合和元素有關(guān)命題的證明，涉及集合元素的個數(shù)，以及子集與補集的應(yīng)用，屬于難題．