Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=$\frac{n}{2}{a_n}（n∈{N^*}）$，（其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₂=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n為奇數(shù)）\\{a_{2^n}}（n為偶數(shù)）\end{array}$，求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過S_n=$\frac{n}{2}{a_n}（n∈{N^*}）$及a_n+1=S_n+1-S_n可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n-1}$，從而可得當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•aa₂=2（n-1），進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{n}{2}{a_n}（n∈{N^*}）$，∴S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$-$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
化簡(jiǎn)得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n-1}$，
又∵a₂=2，∴a₁=S₂-a₂=0，
當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•aa₂
=$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{2}{1}$•2
=2（n-1），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{2（n-1），}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵b_n=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n為奇數(shù)）\\{a_{2^n}}（n為偶數(shù)）\end{array}$，
∴當(dāng)n=2k-1時(shí)，b_2k-1=a_2k-1=2（2k-1-1）=4（k-1），
當(dāng)n=2k時(shí)，b_2k=${a}_{{2}^{2k}}$=2（2^2k-1）=2•4^k-2，
∴記數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n中奇數(shù)項(xiàng)和為T₁，
則T₁=0+4（2-1）+4（3-1）+…+4（n-1）
=4（1+2+3+…+n）-4n
=$4•\frac{n（n+1）}{2}$-4n
=2n（n-1），
記數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n中奇數(shù)項(xiàng)和為T₂，
則T₂=2•4¹-2+2•4²-2+…+2•4ⁿ-2
=$2•\frac{4•（1-{4}^{n}）}{1-4}$-2n
=$\frac{1}{3}•{2}^{2n+3}$-2n-$\frac{8}{3}$，
∴T_2n=T₁+T₂
=2n（n-1）+$\frac{1}{3}•{2}^{2n+3}$-2n-$\frac{8}{3}$
=$\frac{1}{3}•{2}^{2n+3}$+2n²-4n-$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，考查等差、等比數(shù)列的求和公式，考查分類討論的思想，利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•aa₂是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．