已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的左焦點(diǎn)為(-
3
,0),右頂點(diǎn)為(2,0).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=x+m與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,
OA
OB
>2(其中O為原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:((Ⅰ)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),則由題意可知a=2,c=
3
,進(jìn)而求得b,可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)把直線和橢圓方程聯(lián)立可得一元二次方程,根據(jù)△>0求得k的范圍及兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積,再根據(jù)
OA
OB
>2,求得k的另一個(gè)范圍,最后綜合求得k的范圍.
解答: 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),則
∵橢圓C的左焦點(diǎn)為(-
3
,0),右頂點(diǎn)為(2,0).
∴a=2,c=
3
,
∴b=1,
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1
;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
把直線方程y=x+m代入橢圓方程,消去y,得5x2+8mx+4m2-4=0,
△>0,可得m2<5
∴x1+x2=-
8m
5
,x1x2=
4m2-4
5

∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=
m2-4
5

OA
OB
>2,
∴x1x2+y1y2=
5m2-8
5
>2
∴m2
18
5
,
∴m∈(-
5
,-
3
10
5
)∪(
3
10
5
,
5
).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

袋中有10個(gè)大小相同的小球,其中記上0號(hào)的有4個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球.X表示所取到球的標(biāo)號(hào).則E(X)=( 。
A、2
B、
3
2
C、
4
5
D、
7
5

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某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x與銷售額y(單位:萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):若上述數(shù)據(jù)近似成線性相關(guān)關(guān)系,則回歸直線方程必經(jīng)過點(diǎn)( 。
x0134
y20304070
A、(0,20)
B、(2,40)
C、(2,4)
D、(4,60)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,求雙曲線C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且(2a+c)cosB=-bcosC.
(Ⅰ)求角B的大;
(Ⅱ)若b=2
3
,a+c=4,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直三棱柱ABC-A1B1C1,棱AA1上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E滿足AE=λA1E.
(1)求λ的值,使得三棱錐E-ABC的體積是三棱柱ABC-A1B1C1體積的
1
9

(2)在滿足(1)的情況下,若AA1=AB=BC=AC=2,CE∩AC1=M,確定BE上一點(diǎn)N,使得MN∥面BCC1B1,求出此時(shí)BN的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π
3
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).
(1)證明:直線MN∥平面OCD;
(2)求異面直線AB與MD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S1=-1,Sn+1+2Sn=-1(n∈N*),數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n-4(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數(shù)n、m、k,使得三點(diǎn)An(bn,an),Am(bm,am),Ak(bk,ak)落在圓C上?請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且f(1)=0,則不等式xf(x)≥0的解集為
 

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