Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析.

（2）.

【解析】

（1）確定函數(shù)定義域并求出導(dǎo)數(shù)，令，得導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兩零點(diǎn)的與定義域的位置關(guān)系，分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案;

（2）構(gòu)造新函數(shù)，分兩類情況討論：①當(dāng)時(shí)符合題意；②當(dāng)時(shí)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定其在定義域范圍最小值 ，又將恒成立,化簡(jiǎn)為恒成立，根據(jù)的單調(diào)性，確定最小值；由得，令函數(shù)，根據(jù)其在區(qū)間的單調(diào)性確定的范圍；綜合兩種情況即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1），定義域，

，

令，則，，，∵，∴.

①當(dāng)，即時(shí)，在遞減，遞增.

②當(dāng)，即時(shí)，在遞增，遞減，遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，.

（2）由題意，令定義域，

①當(dāng)時(shí)，符合題意，

②當(dāng)時(shí)，，令.

∵，∴，則該方程有兩不同實(shí)根，且一正一負(fù)，

即存在，使得，

可知時(shí)，，時(shí)，，

∴ ，

∴恒成立 ，即，

∵在上單調(diào)遞增，∴，

由得，

設(shè)，則，故在單調(diào)遞減，

∴即為的范圍.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.