Question

已知函數f（x）=，x∈[0，1]，
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間和值域；
（2）設a≥1，函數g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）對函數f（x）=，x∈[0，1]，求導，得
f′（x）==-，
令f′（x）=0解得x=或x=．當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

所以，當x∈（0，）時，f（x）是減函數；當x∈（，1）時，f（x）是增函數．
當x∈[0，1]時，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）對函數g（x）求導，則g′（x）=3（x²-a²）．
因為a≥1，當x∈（0，1）時，g′（x）＜5（1-a²）≤0，
因此當x∈（0，1）時，g（x）為減函數，
從而當x∈[0，1]時有g（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a²，g（0）=-2a，
即當x∈[0，1]時有g（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，
任給x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁），
則[1-2a-3a²，-2a]?[-4，-3]，即，
解①式得a≥1或a≤-，
解②式得a≤，
又a≥1，故a的取值范圍內是1≤a≤．
分析：（1）先對函數f（x）=，x∈[0，1]，求導，先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，求出極值，即可得到答案．
（II）先對函數g（x）求導，則g′（x）=3（x²-a²）．利用導數求出函數g（x）的取值范圍，即當x∈[0，1]時有g（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，最后依據題意：“任給x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁），”得到：[1-2a-3a²，-2a]?[-4，-3]，從而列出不等關系求得a的取值范圍即可．
點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立問題、利用導數求閉區(qū)間上函數的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．