Question

某品牌電視專賣店，在五一期間設計一項有獎促銷活動：每購買一臺電視，即可通過電腦產生一組3個數的隨機數組，根據下表兌獎．

獎次	一等獎	二等獎	三等獎
隨機數組的特征	3個1或3個0	只有2個1或2個0	只有1個1或1個0
獎金（單位：元）	5m	2m	m

商家為了了解計劃的可行性，估計獎金數，進行了隨機模擬試驗，產生20組隨機數組，每組3個數，試驗結果如下所示：
235，145，124，754，353，296，065，379，118，247，
520，356，218，954，245，368，035，111，357，265．
（1）在以上模擬的20組數中，隨機抽取3組數，至少有1組獲獎的概率；
（2）根據上述模擬試驗的結果，將頻率視為概率．
（i）若活動期間某單位購買四臺電視，求恰好有兩臺獲獎的概率；
（ii）若本次活動平均每臺電視的獎金不超過260元，求m的最大值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用對立事件的概率，即可求出隨機抽取3組數，至少有1組獲獎的概率；
（2）（i）求出每購買一臺電視獲獎的概率，利用相互獨立事件概率公式，可求恰好有兩臺獲獎的概率；
（ii）設ξ為獲得獎金的數額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活動平均每臺電視的獎金不超過260元，即可求m的最大值．

解答： 解：（1）設“在以上模擬的20組數中，隨機抽取3組數，至少有1組獲獎”為事件A，則
由數組知，沒中獎的組數為12，∴P(A)=1-

C 3 12

C 3 20

=

46

57

．…（3分）
（2）（i）由題意得，每購買一臺電視獲獎的概率為P=

8

20

=

2

5

，
設“購買四臺電視，恰有兩臺獲獎”為事件B，則P(B)=

C

2 4

(

2

5

)2×(1-

2

5

)2=

216

625

．…（6分）
（ii）設“購買一臺電視獲一等獎”為事件A₁，“購買一臺電視獲二等獎”為事件A₂，
“購買一臺電視獲三等獎”為事件A₃，
則P(A1)=

1

20

，P(A2)=

1

20

，P(A3)=

3

10

．…（8分）
設ξ為獲得獎金的數額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，故ξ的分布列為

ξ	0	m	2m	5m
P	3 5	3 10	1 20	1 20

∴Eξ=0+

3m

10

+

2m

20

+

5m

20

=

13m

20

．…（10分）
由題意Eξ=

13m

20

≤260，得m≤400，
∴m的最大值為400．…（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的期望與方差，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．