Question

在區(qū)間[0，4]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)a、b，則使得函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點(diǎn)的概率為________．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，得到所有的點(diǎn)在如圖的正方形OABC及其內(nèi)部任意取，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，算出函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點(diǎn)時滿足a≥2b，滿足條件的點(diǎn)（a，b）在正方形內(nèi)部且在直線a-2b=0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面積除以正方形的兩種，即可得到所求的概率．
解答：∵兩個數(shù)a、b在區(qū)間[0，4]內(nèi)隨地機(jī)取，
∴以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
可得對應(yīng)的點(diǎn)（a，b）在如圖的正方形OABC及其內(nèi)部任意取，
其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)
若函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點(diǎn)，則
△=a²-4b²≥0，解之得a≥2b，滿足條件的點(diǎn)（a，b）在直線a-2b=0的下方，
且在正方形OABC內(nèi)部的三角形，其面積為S₁==4
∵正方形OABC的面積為S=4×4=16
∴函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點(diǎn)的概率為P===
故答案為：
點(diǎn)評：本題給出a、b滿足的關(guān)系式，求函數(shù)f（x）=x²+ax+b²有零點(diǎn)的概率，著重考查了面積計(jì)算公式、一元二次方程根的判別式和幾何概型計(jì)算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．