Question

【題目】設(shè) ，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若對(duì)于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=

由題設(shè)f′（1）=1，

∴ ，

∴a=0

（2）解： ，x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）

設(shè)g（x）=4lnx﹣m（3x﹣ ﹣2），即x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）= ﹣m（3+ ）= ，g′（1）=4﹣4m

①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾

②若m∈（0，1），當(dāng)x∈（1， ），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=0，與題設(shè)矛盾．

③若m≥1，當(dāng)x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立

綜上所述，m≥1

【解析】（1）求導(dǎo)，由題意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；（2）由題意可知：4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，分類(lèi)討論即可求出m的取值范圍